[이미지로 이해하는 구의 겉넓이 공식]
The formula for
the surface area of
a sphere(with radius 'r')
is
구의 겉넓이 공식은
click here
눈치챘나?
What do you see from the formula?
What do you feel from the formula?
보였어? 원 4개?
Did you find 4 circles from the formula?
 |
 |
Yes, I know.
맞아. 정말 멋지지.
It is beautiful.
It is amazing
that
the surface area of a sphere
is connected to
4 circles' area.
대박!! 구의 겉넓이가 원 네개의 넓이와 연결되어 있다니 말이야.
one more time. 한번더~ 예이~
the surface area of a sphere
is the same
with the area of 4 circles
(with the same radius.)
구의 겉넓이는
원 네개의 넓이와
같아요~
Let's see how and why does it happens.
왜 그런지 한번 살펴보자.
[[ 1 ]] 4 circles and a rectangle. (원4개를 품은 직사각형)
first step♥
'반지름 r인 원'과 'r을 높이로 하고, 밑변의 길이가 원주인 삼각형'의 넓이는 같다.
before we go,
We have to make sure we know that
these two shapes have the same area.
(a right-triangle with a base of the circumference of the circle and height of r.
vs.
a circle with a radius r)
(If you know about this, just jump to the third step. ) or stay here.
Second step)♥ Why?
----- 1....one right triangle can be break down to infinite many triangles with same height.
----- 2.... these triangles can be shaped to a circle
following link(Author:Aline Lemmertz, Anthony OR 柯志明) will help you to have a visual understanding.
https://www.geogebra.org/m/RQHPbD6r
Third step)♥
okay
the area was the same between
our one right-triangle and one circle.
So, the same goes for quadruple area.
4 right-triangles and the 4 circles.
Fourth step) ♥
4 right-triangles can fit a rectangle.
Which means 4 circles in a rectangle.
(this rectangle has the circumference of the circle as the base and diameter as its height.)
그리고, 원과 넓이가 같은 네개의 삼각형으로 직사각형을 만들 수 있지.
From now on,
we can connect this rectangle has the same area to 4 circles. okay?
let's go to the next step.
Let's wrap the sphere with this rectangle.
자!!! 이제부터 우린 저 직사각형으로 볼 때 원 4개를 연결시킬수 있어야 하는거야.
준비가 됐다면, 다음 단계로 넘어가자.
[[ 2 ]] a rectangle and sphere's surface. [직사각형과 구의 표면적 비교]
Let's go
to see
the surface area of a sphere is the area of 4 circles with same radius.
Our strategy is
to compare
the side area of a cylinder(Rectangle)
and a surface area of a sphere with the same radius r.
This cylinder has a rectangle as its side.
the width of the rectangle is circumference of a circle with radius r.
the height of the rectangle is diameter of the given circle.
우리 전략은 구를 둘러싼 원기둥의 옆면과 구의 표면적을 비교하는거야.
그러기 위해 이 면들을 무수히 많은 직사각형으로 쪼갤거야.
okay, let's start.
fifth step) ♥
We will divide the rectangle(cylinder side) into infinitely many rectangles.
Let's draw lines orthogonal to the central axis(z-axis) from the four vertices of a rectangle.
원기둥의 옆면을 무수히 많은 직사각형으로 분해하고, 네 꼭짓점에서 z축에 이르는 xy평면에 평행한 직선을 그리면,
then the intersection of the lines and the sphere makes a rectangle. (small enough trapezoid will be deal as the rectangle.)
구면과의 교점들을 연결하는 새로운 직사각형을 찾을 수 있어.(사다리꼴이지만, 충분히 작게 자르면 직사각형으로 다룰 수 있어.)
let's name two rectangles as to 'Sophia' and 'Linda'
'Sophia' is the rectangle on the sphere.
'Linda' is the rectangle on the cylinder.
구면의 직사각형을 '구직', 기둥의 직사각형을 '기직'이라고 부르자.
sixth step) ♥
we will show these two tiny rectangles have the same area.
우리는 이 두 직사각형의 넓이가 같다는 것을 보일 거야.
i) widths (밑변의 길이 비교)
ratio of widths of Sophia and Linda is ' b: r '
(Sophia is 'b' away from the z-axis., blue line is 'b', long red line is 'r' )
구직이와와 기직이의 밑변의 길이의 비는 ' b: r '야.
(구직이는 z축으로부터 파란선 'b'만큼 떨어져있고, 기직이는 반지름 'r'만큼 떨어져 있는거 보이지?)
ii) heights (높이 비교)
ratio of heights of Sophia and Linda is 'r : b '
(It can be derived from similar right-angled triangles. )
(short red to long red and short blue to long blue lines.)
구직이와 기직이의 높이의 비는 'r : b ' 야.
아래 그림의 빨간선과 파란선을 참고해봐.
작은 빨간선과 작은 파란선의 비율은 긴 빨간선과 긴 파란선의 비율과 같아. 그래서 'r : b ' 임.
iii) area (넓이)
the areas of Sophia and Linda are the same, because the ratio of width and height inverse each other.
그래서 구직이와 기직이의 넓이는 같게 되는 거야. 왜냐하면 밑변의 길이의 비와 높이의 비가 서로 역비례 관계거든.
밑변의 길이 비는 r:b, 높이의 길이 비는 b:r, 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱.
seventh step) ♥
Now
we can generalise this result.
the area of Sophia family and Linda family are the same.
이제 우리는 일반화된 주장을 할 수 있어.
구직이 가족들과 기직이 가족들의 넓이는 같다.
eighth step) ♥
Sphere's surface area is the same to the area of the side of cylinder.
the area of the side rectangle of a cylinder is the same with 4 circles area.
so,
the Sphere's surface area is the same with 4 circles area.
결국 구의 겉넓이와 기둥의 옆넓이인 직사각형의 넓이와 같고,
이 직사각형은 같은 반지름의 원 4개와 넓이가 같으므로,
구의 겉넓이는 원 4개의 넓이와 같다.
nineth step) ♥ Conclusion
that's why the surface area of a sphere with radius 'r'
is
which means the 4 circles with the same radius can cover the sphere.
Well done.
이번에는 구와 원 네 개의 관계를 보여주는 입체 디자인을 소개하지.
구의 겉넓이와 원 네개의 넓이의 이미지를 연결하는데 도움이 됐으면 좋겠어.
Now.
Let's see another 3D objects.
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3D objects
[1] a sphere with 4 circles.
4 circels are placed symetrically on a sphere.
and the area of the 4 circles and the surface area of a sphere
is the same.
[2] a sphere with a quatered surface (표면이 4등분된 구)
[3] composition of a tetrahedron and a sphere with same surface area (정사면체와 구의 합성)
If we compare two objects,
one quater area of the surface of a sphere is
the same with the triangle face on tetrahedron.
likewise,
the surface area of this tetrahedron is the same with the surface of a sphere.
[3] other objects
[4] What is your design?
Do you have any idea?
Let's create crazy object related to the formula of the surface area of a sphere.
or any crazy mystery puzzle... what do you think?
[5] STL files
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