싸이클로이드 곡선

 

싸이클로이드(Cycloid) 는

2차평면에서 

직선을 따라

원을 미끄러짐 없이 굴렸을 때,

원 위의 한 점이 그리는 자취를 말한다. [1]

 

 아래의 사이트에서 싸이클로이드를 그려보는 실험을 할 수 있다. 

https://www.geogebra.org/m/fVPsKXfk

 

 

대표적 장점으로 최단하강거리 라는 특징이 있고, 

그래서 우리나라 전통 기와 지붕이 싸이클로이드 곡선의 특성을 지닌다는 주장도 있다. 

우리나라 뿐 아니라 인도네시아의 미낭카바우 지붕의 모양도 싸이클로이드 곡선을 연상하게 한다. 

두 나라 모두 여름에 강한 우기를 갖는다. 

 

출처 https://en.wikipedia.org/wiki/Minangkabau_culture

어쨌든 그래프를 그리고 싶으니까... 

식을 유도해 보자. 

싸이클로이드 곡선은 x와 y의 관계를 나타낸 거지만, 

회전값 θ의 변화에 따라 두 값이 변하므로, x와 y를 θ각도에 대해서 표현해보자. 

 

파란점은 원과 직선의 접점이고, 이 점이 원이 직선에서 구른다는 것을 표현 할 것이다. 

초록점은 파란점 뒤에 가려져서 안보이는데, 

이 초록점은 원에 고정된 점으로써, 이 점의 자취가 싸이클로이드가 된다. 

 

처음에는 파란점과 초록점이 일치한 상태로 두자.

 

 

이제 θ만큼 원을 굴려 보자. 

원이 구르면서 직선과 접하는 접점은 계속 바뀐다. 그림에서 파란색점이 원과의 접점이고,

원이 굴렀으니 초록점은 위로 상승하겠지.  

우리는 초록점의 자취를 상상하는게 목적. 

 

 

초록색 점의 자취의 식을 알아내기 위해,

초록색 점의 x, y좌표를 나타내고 싶다.

 

먼저, 

보조선을 그어 직각삼각형을 만들어보면,

직각삼각형의 밑변과 높이가 각각 r sin θ, r cos θ 임을 알 수 있다. 

 

 

 

 

 

드디어.

초록 점의 x, y좌표를 알수 있게 되었다.  

x좌표는 rθ 만큼 굴러간 길이에서  r sin θ을 뺀 값이고, 

y좌표는 반지름의 길이 r에서 r cos θ을 뺀 값이다. 

 

 

끝... 

 

지오지브라에 식 입력해서 그리면 됨.

Curve (x값, y값, 변수(여기는 각도), 범위시작숫자, 범위끝숫자)

 

 https://www.geogebra.org/classic/k2xdwajp

 

 

 

 

 

 

참고:

[1] https://web.pdx.edu/~caughman/Cycloids%20and%20Paths.pdf

[2] http://studyingrabbit.tistory.com/49

사이클로이드(cycloid) 곡선만이 유일한 등시 곡선(Tautochrone curve)일까?

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Minangkabau_culture