제임스 히버트, 개념적 절차적 지식

 

 제임스 히버트 (James Hiebert)

 

히버트는 지식을 개념적인 것과 절차적인 것으로 구분하였다. 몇가지 수학적 예를 먼저 살펴보면서 절차적 지식과 개념적 지식이 무엇인지 알아 보도록 하자. 

 

그는 학생들이 세로셈의 상황을 분석했는데, 절차적 지식을 갖췄다는 것은  "덧셈을 할 때 오른쪽 끝으로 숫자들을 정렬해서 숫자들을 적는다."는 규칙을 지키며 계산을 하는 것이다. 개념적 지식은 숫자들의 위치에 따라 일, 십, 백등의 가치가 다르다는 것을 이해하면서 같은 자리 수끼리 더하는 행위를 십진법의 원리와 연결지을 수 있는 이해를 말한다. 히버트는 개념 없이 절차만 익힌 아이는 소수의 덧셈(1.2 + 0.35)에서도 무조건 오른쪽 끝을 맞추려다 오류를 범하게 됨을 지적했다. 

분수의 연산도 수학 수업에서 가장 흔히 보이는 현상으로, 많은 학생들이 절차적 지식에 구속되어 개념적 지식에 이르지 못하고 있다. 분수 ⅔ ÷ ¼ 을 풀때, 역수를 곱하는 규칙을 암기하여 답을 내지만, 정작 나눗셈의 의미(포함제, 등분제)와 연결시키지 못하는 경우가 많다. 두 지식이 연결되면, 학습자는 왜 '역수를 곱하는지' 그 이유를 논리적으로 설명할 수 있게 된다.

 

수학에는 추상적 문자나 기호들이 자주 등장한다. 이것에 대해서 히버트는  "기호(Symbol)" 자체는 절차적 지식의 영역에 있지만, 그 기호가 나타내는 "의미(Meaning)"는 개념적 지식의 영역이라고 보았다.

예를들어 ‘=' 기호를 단순히 "답을 써라"라는 신호로 받아들이면 절차적인 것에 머물지만, 이를 "왼쪽과 오른쪽이 같다(동치)"는 관계로 이해하면 개념적 지식이 된다.

 

 

그는 1986년 저서 Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics를 통해 이 두 지식을 정의하고 이들의 상호작용을 정리했다.

개념적 지식은 관계에 대한 지식으로, 개별적인 정보들이 네트워크처럼 연결되어 의미를 형성하는 상태를 말한다. 반면, 절차적 지식은 문제를 해결하기 위한 단계적인 규칙이나 알고리즘, 연산 절차에 대한 지식이다. 앞의 예처럼, 분수의 나눗셈에서 분모와 분자를 뒤집어 곱하는 기술적인 방법은 절차적 지식이며, 포함제를 이해하면 개념적 이해이다. 히버트는 이 두 지식이 독립적으로 존재하는 것이 아니라, 서로 긴밀하게 연결될 때 비로소 진정한 학습이 일어난다고 보았다. 즉, 역수를 곱하는 나눗셈을 수행할때, 그 이유를 알고 있는 상태를 진정한 학습이라고 본 것이다. 

그는 개념적 지식을 "관계들의 네트워크(A Network of Relationships)"로 정의했기때문에, 지식이 이미 알고 있는 다른 지식과 유의미하게 연결되어 있는 상태로 보았다. 새로운 정보가 들어왔을 때 그것을 기존의 지식 체계 속에 '편입'시키는 과정이 포함된다. 단순한 사실의 나열이 아니라, 근거를 알아야 한다. 예를 들어, "삼각형의 넓이는 왜 (밑변) × (높이) ÷ 2인가?"를 평행사변형과의 관계로 이해하는 것이 개념적 지식이다.

절차적 지식은 문제를 해결하기 위해 수행하는 "형식적 언어와 규칙의 체계"이므로, 본질적으로 "어떻게(How-to)"에 관한 지식이며, 목표를 달성하기 위한 단계에 대한 지식이다. 그는 수학적 형식 체계로서, 기호, 식의 배열, 수학적 문법들을 이 범주에 포함시켰다. 알고리즘 역시 계산을 수행하거나 문제를 풀기 위해 정해진 일련의 규칙으로써 자주 인용되는 예이다. (예: 곱셈의 세로셈법). 절차적 지식은 효율적이지만, 개념적 연결이 없으면 기계적 반복을 낳게 만든다.

히버트 이론의 핵심은 개념적 지식을 강조하거나 절차적 지식을 폄훼하기 위한 것이 아니다. 이 두 지식 사이의 연결을 강조하고자 했다. 이러한 연결이 이루어질 때 우리는 다음과 같은 효과를 기대할 수 있다. 

연결의 효과	상세 설명
기억의 저장	절차를 단순 암기하는 것보다 개념적 배경과 연결할 때 훨씬 오래 기억된다.
전이(Transfer)	개념을 이해하면, 처음 보는 형태의 문제에도 알고리즘을 변형해서 적용할 수 있다.
오류 수정	계산 결과가 이상할 때, 개념적 지식을 바탕으로 어느 단계에서 논리적 오류가 났는지 스스로 점검할 수 있다.

히버트는 이 예시들을  통해 개념적 지식이 결여된 절차적 지식에 대해 경고하고자 했다. 개념과 연결되지 않은 절차(공식)는 시험이 끝나면 가장 먼저 잊혀지며, 학생들은 규칙이 조금만 바뀌어도(새로운 도구나 문제 등장) 대응하지 못한다. 또한, 스스로 오류를 찾아낼 능력을 발전시키 어려워진다. 

 

향후, Rittle-Johnson, B., & Siegler, R. S. (2022)와 같은 연구자들은 절차의 수행 능력이 안정적으로 확립되지 않으면 개념적 지식도 불완전하게 존재한다는 것에 주목하여, 개념이 절차를 이끌어내기도 하지만, 능숙한 절차는 개념을 공고히 하는데 기여한다는 상호보완적(Iterative)관계를 강조하였다. 

히버트도 이것에 대해 동의하는 입장을 향후 연구를 통해 보였다. 

따라서 그의 연구의 초기 관점과 후기 관점에는 약간의 차이를 보인다. 

그러나 지식을 절차와 개념으로 구분하여 이해하려는 측면에서는 일관성을 보이고 있다. 

 

 

 

---

[1] Hiebert, J. (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics.

 

[2]Hiebert, J., & Lefevre, P. (2013). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In Conceptual and procedural knowledge (pp. 1-27). Routledge.

=>  히버트와 르페브르가 쓴 이 책의 1장은 두 지식의 정의를 내리는 부분이다. "개념적 지식은 관계가 풍부한 지식이다"라는 정의가 나온다.

 

[3] Hiebert, J., & Wearne, D. (2013). Procedures over concepts: The acquisition of decimal number knowledge. In Conceptual and procedural knowledge (pp. 199-223). Routledge.

 

[4] Rittle-Johnson, B., & Siegler, R. S. (2022). The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. The development of mathematical skills, 75-110.

 

[5] Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of educational psychology, 93(2), 346.

 

[6] Hiebert, J., & Wearne, D. (1996). Instruction, understanding, and skill in multidigit addition and subtraction. Cognition and instruction, 14(3), 251-283.

 

[7] Star, J. R. (2005). Reconceptualizing procedural knowledge. Journal for research in mathematics education, 36(5), 404-411.