그래프 그리기 - 그래핑( graphing)

Graphing

 

우리가 흔히 사용하는 좌표평면은 직교좌표라고해서 x와 y의 두 축이 서로 수직이 되게 놓여있다. 여기에 그래프를 그린다는 것은 어떤 x와 y의 관계에 해당하는 순서쌍들을 좌표로 갖는 모든 점을 좌표평면에 나타내는 것이다. 딱 두개의 문자 x, y이다. 세개여도 안되고 네개여도 안된다. 딱 두개....  x가 1일때, y의 값이 1이면 (1,1)이라고 표시하고 좌표평면의 해당하는 위치에 점을 찍게 된다.x가 2일때, y의 값이 4이면 (2,4)라고 표시하고 좌표평면에 점을 찍게 된다. 
좌표평면에 점하나만 찍었다고 그래프가 아닐수는 없는법... 

그런데 보통 이런건 별로 재미없고, 연속된 실수 x에 대해서(혹은 주어진 정의역에 대해서) 대응하는 y값을 모두 평면에 나타내는게 더 재미있다. 주어진 식마다 만들어내는 형태가 다양한데 잘 들여다보면 규칙도 보일듯말듯,...

 

하트가 그려지는 사랑 방정식도 있다아이가... 

 

 

 

이제 여러가지 함수의 그래프를 그려볼까나? 유리함수, 무리함수, 다항함수 등등등... 어떤 모양일까?

 

어쨌든...

일일이 다 그려볼수는 없고 쉽게 그려주는 무료앱을 사용해보자. 

지오지브라나 매쓰웨이를 이용하면 쉽게 그래프를 그릴 수 있다.
사이트로 들어가서 그리고 싶은 식을 입력하면 끝.

우리는 지오지브라(geogebra)를 주로 활용해보겠음. 

https://www.geogebra.org
https://mathway.com/graph

 

 

 

입력한 식 : y = x^2 + 2

            y=x^3 -4x^2 -4x +1

(이렇게 키보드의 꺽쇄 표시로 제곱을 표시하면 됨. 커서 이동은 방향키로 하면 된다.) 

 

차수, 계수, 상수를 다양하게 바꿔가면서 그래프의 변신을 관찰하는 것도 의외로 재밌다. 

 

 

 

::: 점의 그래프 :::

 

 

 

 

 

 

 

::: 선의 그래프 :::

>>> x, y의 차수가 1인 식

직선이 그려지는 식은 y=3x + 2와 같은 일차함수의 식이다. x의 차수가 1이다. 당연한것 같지만 가만 보면 신기하다. 평면위에 그려지는 무수히 많은 직선의 식이 한가지 형태로 요약된다. 대박!! (y=ax+b)

 

 

 

 

>>> x든 y든 변수가 한개만 있는 식

x와 y를 축으로 갖는 좌표평면에는 변수 두개에 대한 관계를 나타낼 수 있다고 하였다. 

식 y=3 혹은 x=2와 같은 형태는 식에 나타나지 않는 변수를 무시하라는 의미가 아니다. 

식 y=3의 경우 모든 x에 대해서 y의 값이 3임을 설명한다. 

 

 

 

 

 

 

::: 여러가지 다항 방정식(함수)의 그래프 :::

그냥 이차식, 삼차식, 사차식...막 입력해 보자... 예쁘게 그려진다. 

 

 

 

 

::: 여러가지 방정식(함수)의 그래프 :::

 

>>> 영역별로 다르게 정의된 함수 그리기입력창의 더하기표시(+)를 누르면 조각적 연속함수가 보이는데 이것을 클릭하면 아래 그림처럼 세개의 조건에 따라 함수를 구분하여 그려준다. 어라!!! 연속이 아닌 함수?!?!?


>>> 유리함수 그리기
몇가지 유리함수를 입력해 보고 그래프 모양들을 관찰해보자. 

 

 

 

 

 

>>> 무리함수 그리기

'y=' 을 입력창에 먼저 입력한 후 왼쪽에 보이는 세모를 클릭하면 이상한 기호들이 펼쳐진다. 이제 필요한것을 찾아보자. sqrt, sbrt, n제곱근(x,n)을 사용해보자. 제곱근은 sqrt, 세제곱근은 cbrt, 4이상은 n제곱근(x,n)의 형태로 입력하면 된다.  으쌰....

 

아래그림은 여러가지 무리함수를 입력한 것이다. 부호에 따라 곱해진 수에 따라 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는지 관찰해보자. .... 

 

 

>>> 삼각함수, 로그함수, 지수함수 그리기

마찬가지로 sin(x), ..., log(b,x),..., exp(x) 등을 사용하여 입력하면 그래프의 모양을 쉽게 볼 수 있다.