순위 매기는 선거방식 -보르다 투표법

1733년 프랑스 귀족 집안에서 보르다가 태어난다.
장 샤를 드 보르다는 어려서부터 수학과 과학에 관심을 보였다.
라플레슈 예수회학교에서 수학과 과학에 체계적인 교육을 받았으며, 가문의 전통을 이어 군인이 되어 군대 수학자로서의 삶을 시작한다. 

이제 선거이론을 살펴보자.
1781년에 보르다는 '투표를 통한 선거에 대한 소론'이라는 논문을 작성한다. 

선거방식의 불합리성에 대한 매우 흥미롭고 독창적이라는  관찰이라는 평가를 받기도 하였다.

보르다는 논문에서 다수결로 관리를 선출하는 기존의 방식의 공정성에 의문을 제기한다. 

고등학교에서 반장선거를 한다고 가정해보자. 

한 반의 학생수는 24명이고, 피터, 폴, 메리가 후보자이다. 다수결에의한 투표결과 피터가 이기게 된다. 과연 유권자의 민심은 제대로 반영된 것일까?
3명의 후보자에 대한 선호순위를 조사했을때 다음과 같았다고 가정해보자.
8명의 유권자:피터>메리>폴
7명의 유권자:폴>메리>피터
6명의 유권자:메리>폴>피터


양자대결 방식으로 선거를 치를 경우는, 메리가 이기게 된다. 

(메리, 폴), (메리, 피터), (피터, 폴)

     (14,7),          (13,8),     (8, 13)

이런 역설적인 상황이 도출되는 이유는 피터를 최악의 후보자라고 생각하는 유권자들의 수가 피터를 지지한 8명의 유권자들의 수를 상쇄하기 때문이다. 

이런 역설은 수백 년 동안 아무도 눈치채지 못한 채로 지속돼왔는데 그 이유는 선거가 끝난 후에 선거에서 패배한 후보자들에 대한 유권자들의 선호도를 비교할 생각을 아무도 안했기 때문이다. 

보르다의 해결책  ‘순위를 매기는 선거방식’

보르다가 제시한 선거방식에서 

모든 유권자는 모든 후보자들의 순위를 매긴다. 순위에 따라 1점씩 가점을 준다. 

8명의 유권자:피터(3점)>메리(2점)>폴(1점) 
7명의 유권자:폴(3점)>메리(2점)>피터(1점) 
6명의 유권자:메리(3점)>폴(2점)>피터(1점)

 그리고 각 점수들을 합산한다. 

피터는 (3*8)+(13*1)= 37점. 

같은 방법으로 계산할 때 폴의 총점은 41점, 메리의 총점은 48점이다. 

이 방법으로는 메리가 당선되어야 한다.


특징: 순위가 높고 낮음을 막론하고 순위간의 차이가 동일하다


기존의 다수결 표결에서 얼마나 많은 표를 얻어야 보르다 투표법에서도 마찬가지로 1등을 할 수 있을까? 

피터는 a라는 유권자 집단에서 1위를 차지했고, 메리는 b라는 유권자 집단에서 1위를 차지했다고 가정해보자. 

보르다는 먼저 피터의 입장에서 최악의 시나리오를 설정해보자.
a명의 유권자 집단: 피터 > 메리 > 폴
b명의 유권자 집단:메리 > 폴 > 피터

피터 3a + b 

메리 3b +2a 

a+b = n(유권자 전체수)

3a + b > 3b +2a

a>(2/3)*n

피터가 다수결 투표에서 적어도 3분의 2가 넘는 표수를 받아야만 보르다 투표법으로도 승리할 수 있다.

보다 일반적으로 말하면 만약 후보자 수가 m명일 경우, 다수결 선거방식에서 승리한 당선자가 보르다 투표법에서도 승리하려면, 후보자는 다수결 선거방식에서 적어도 1-1/m 이상의 표를 획득해야만 한다. 

 


보르다 투표법의 문제
1) 역설적으로 보르다 투표법에 의해 당선된 후보자가 유권자들의 선호 순위 1위에 있지 않았던 사람일 수 있다.

다음의 예를 보자.
11명의 유권자 폴>메리>존>피터
10명의 유권자 피터>메리>존>폴
9명의 유권자 존>메리>피터>폴

이경우 폴은 총 63점 피터는 68점 존은 78점을 받게되고 유권자들이 가장 좋아하지도 싫어하지도 않는 메리는 90점을 받고 당선되게 된다.
다수결 선거방식이었다면, 폴이 당선된다. 

2) 열등한 후보의 출현이 선거결과에 영향을 미친다.

예를들어 유권자 100명 중에서 51명은 프레드보다는 진저를 지지하고 49명은 진저보다는 프레드를 지지했다고 가정해보자.
51명의 유권자 진저>프레드
49명의 유건자 프레드 > 진저

진저는 151 (51*2 + 49*1) 점 프레드는 149점 (51*1 + 49*2)
그런데 갑자기 새로운 후보 보거스가 등장했다고 치자 .

51명의 유권자 진저>프레드>보거스
46명의 유권자 프레드 > 진저 >보거스
3명의 유권자 프레드 > 보거스 > 진저

이 경우 프레드가 당선되게 된다.

따라서 보르다 투표법에서는 허수아비 후보를 출마시킴으로써 당선자를 바꿀 수 있다. 

 

3) 물론 유권자들이 전략적 투표를 함으로써 선거 결과에 영향을 미칠수도 있다.

    실제로 지지하는 후보가 아닌 견제해야 할 후보를 막기위해서 전략적으로 다른 후보에게 투표를 한다. 

참고: 대통령을 위한 수학