찰스 도지슨의 선거방식 - 도지슨 숫자

이상한 나라의 앨리스의 저자 이자 수학자. 
찰스 럿위지

19세기 초 그가 제안한 선거방식이 있다. 

무작위 양자대결 방식

라몬 유이의 승자진출 방식과 비슷하다. 그러나 무작위로 양자대결 상대를 뽑는다. 

양자대결의 순서에 따라 터무니 없는 문제가 발생할 수 있다.

다단계 경선 방식 

매 경선마다 유권자들은 선호 후보를 선발한다. 꼴등이 탈락된다. 이제 남은 후보자중에서 마찬가지로 투표를 진행한다. 가작 적은 표를 얻은 후보가 탈락한다. 

반복하여 최종 한명이 남을때까지 한다. 

이 방법도 마찬가지로 괜찮은 후보가 최초에 탈락할 수 있다. 

11명의 유권자들 네명의 후보에 대한 다음의 경우에 대해서 생각해 보기 바란다.

b>a>c>d

b>a>c>d

b>a>c>d

c>a>b>d

c>a>b>d

c>a>b>d

d>a>c>b

d>a>c>b

a>b>d>c

a>c>d>b

제안1: ‘점수부여를 통한 선출방식’

유권자는 후보에게 부여할 수 있는 포인트를 갖는다. 

유권자는 원할 경우 한후보에 점수를 몰아줄수 있다. 

그러나 이방법 역시 다수결의 단점을 갖는다. 

제안2: ‘점수부여를 통한 선출방식’ 

도지슨은 창의성을 발휘하여 앞의 방법을 수정한다.

가령 15포인트가 유권자에게 부여된다고 하자. 

후보는 다섯명이라고 하자.

유권자는 5, 4, 3, 2, 1 점 이렇게 각 후보에게 자기 마음대로 점수를 줄 수 있다. 

유권자가 한 후보에게 15점을 주고 다른 후보들에게 0점을 주는 걸 막기위해 선호도가 같은 후보자들은 해당 순위의 점수를 받게 하였다.

그러니까 15, 0, 0, 0, 0 으로 부여할뻔한 점수는 5, 4, 4, 4, 4 로 부여하게 된다. 

제안3: 도지슨 숫자

1) 다수결 투표를 먼저 한다. 유권자들은 무선출 기권해도 된다.

개표후 과반수의 지지를 얻는 사람이 있으면 당선된다.

2) 만약 과반수의 지지가 없다면, 선거인들은 후보들을 선호 순서로 나열한다. 

그다음 2명씩 짝을 지어 다수결로 양자대결을 펼친다.  

양자대결에서 한 후보가 다수결 지지를 얻을 경우 그가 승자가 된다. 

3) 당선자가 나오지 않는 경우. 

이 부분이 투표이론에 대한 도지슨의 명성이 가능하게한 부분이다. 선거에서 역설적인 상황을 어떻게 벗어나도록 할까?

모든 후보가 적어도 한번은 양자대결에서 다른 후보에게 패했을 때는 어느 후보도 절대적으로 우월하다고 할 수 없다. 

**역설적인 상황을 벗어나기 위해 가장 적은 수의 유권자가 마음을 바꿔야 하는 후보가 당선되어야 한다. 

다음의 상황을 보자. 다수결로 하면 알렉스가 당선된다. 그런데...

유1:알>딕>칼>박

유2:알>딕>칼>박

유3:알>밥>딕>칼

유4:알>밥>딕>칼

유5:밥>칼>알>딕

유6:밥>칼>알>딕

유7:밥>딕>칼>알

유8:칼>밥>딕>알

유9:칼>밥>딕>알

유10:칼>밥>딕>알

유11:딕>칼>밥>알

유권자 7명이 알렉스보다는 밥을 선호한다. 그런데 여기서 멈추지 않고 밥보다는 칼, 칼보다는딕, 딕보다는 알렉스를 선호하는 역설적 순환 발생한다. 

알렉스>딕>칼>밥>알렉스

하지만 유권자 11이 마음을 바꿔서 칼과 밥의 순서를 바꾸면 역설이 일어나지 않으므로 밥을 당선시킬수 있다. 

도지슨 숫자 : 필요한 후보자간 선호도 뒤바뀜의 최소 횟수. 

 역설적 상황을 벗어나기 위해서 가장 적은 회수의 선호도 뒤바뀜이 필요한 사람이 당선자로 배출된다. 

후보자를 콩도르세의 승자로 바꾸는데 필요한 최소한의 뒤바꿈 회수는 ‘도지슨 숫자’라고 불린다. 

만약 진정한 콩도르세의 승자가 존재한다면, 이 후보의 도지슨 숫자는 0이다.

참고: 책, 대통령을 위한 수학